Finite sums over modules over a ring

theorem List.sum_smul {R : Type u_5} {M : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] {l : List R} {x : M} : l.sum • x = (List.map (fun (r : R) => r • x) l).sum

theorem Multiset.sum_smul {R : Type u_5} {M : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] {l : Multiset R} {x : M} : l.sum • x = (Multiset.map (fun (r : R) => r • x) l).sum

theorem Multiset.sum_smul_sum {R : Type u_5} {M : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] {s : Multiset R} {t : Multiset M} : s.sum • t.sum = (Multiset.map (fun (p : R × M) => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum

theorem Finset.sum_smul {ι : Type u_1} {R : Type u_5} {M : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] {f : ι → R} {s : Finset ι} {x : M} : (s.sum fun (i : ι) => f i) • x = s.sum fun (i : ι) => f i • x

theorem Finset.sum_smul_sum {α : Type u_3} {β : Type u_4} {R : Type u_5} {M : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] {f : α → R} {g : β → M} {s : Finset α} {t : Finset β} : ((s.sum fun (i : α) => f i) • t.sum fun (i : β) => g i) = (s ×ˢ t).sum fun (p : α × β) => f p.1 • g p.2

theorem Finset.cast_card {α : Type u_3} {R : Type u_5} [CommSemiring R] (s : Finset α) : ↑s.card = s.sum fun (a : α) => 1

theorem Fintype.sum_piFinset_apply {ι : Type u_1} {κ : Type u_2} {α : Type u_3} [DecidableEq ι] [Fintype ι] [AddCommMonoid α] (f : κ → α) (s : Finset κ) (i : ι) : ((Fintype.piFinset fun (x : ι) => s).sum fun (g : ι → κ) => f (g i)) = s.card ^ (Fintype.card ι - 1) • s.sum fun (b : κ) => f b